Количественный (математико-статистический) анализ - совокупность процедур, методов описания и преобразования исследовательских данных на основе использования математико-статического аппарата.
Количественный анализ подразумевает возможность обращения с результатами как с числами - применение методов вычислений.
Решившись на количественный анализ , мы можем сразу обратиться к помощи параметрической статистики или сначала провести первичную и вторичную обработку данных.
На этапе первичной обработки решаются две основные задачи : представить полученные данные в наглядной, удобной для предварительного качественного анализа форме в виде упорядоченных рядов, таблиц и гистограмм и подготовить данные для применения специфических методов вторичной обработки.
Упорядочивание (расположение чисел в порядке убывания или возрастания) позволяет выделить максимальное и минимальное количественное значение результатов, оценить, какие результаты встречаются особенно часто и т.д. Набор показателей различных психодиагностических методик, полученных по группе представляют в виде таблицы, в строках которой располагают данные обследования одного испытуемого, а в столбцах - распределение значений одного показателя по выборке. Гистограмма - это частотное распределение результатов в диапазоне изменения значений.
На этапе вторичной обработки вычисляются характеристики предмета исследования. Анализ результатов вторичной обработки позволяет нам предпочесть тот набор количественных характеристик, который будет наиболее информативен. Цель этапа вторичной обработки состоит не только в получении информации, но и в подготовке данных к возможной оценке достоверности сведений. В последнем случае мы обращаемся к помощи параметрической статистики .
Типы методов математико-статического анализа:
Методы описательной статистики направлены на описание характеристик исследуемого явления: распределения, особенностей связи и пр.
Методы статического вывода служат для установления статистической значимости данных, полученных в ходе экспериментов.
Методы преобразования данных направлены на преобразование данных с целью оптимизации их представления и анализа.
К количественным методам анализа и интерпретации (преобразования) данных относятся следующие:
Первичная обработка «сырых» оценок для создания возможности применения непараметрической статистики производится двумя методами: классификацией (разделение объектов на классы по какому-либо критерию) и систематизацией (упорядочивание объектов внутри классов, классов между собой и множеств классов с другими множествами классов).
Этап абстрагирования при изучении тех или иных физических явлений или технических объектов состоит в выделении их наиболее существенных свойств и признаков, представлении этих свойств и признаков в такой упрощенной форме, которая необходима для последующего теоретического и экспериментального исследований . Такое упрощенное представление реального объекта или явления называют моделью .
При использовании моделей сознательно отказываются от некоторых данных и свойств, присущих реальному объекту для того, чтобы легко получить решение проблемы, если эти упрощения лишь несущественно отражаются на результатах.
В зависимости от цели исследования для одного и того же технического устройства могут быть использованы различные модели: физические, математические, имитационные.
Модель сложной системы можно представить в виде блочной структуры, то есть в виде соединения звеньев, каждое из которых выполняет определенную техническую функцию (функциональная схема ). В качестве примера можно рассмотреть обобщенную модель системы передачи, изображенную на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2 – Обобщенная модель системы передачи информации
Здесь под передатчиком понимается устройство, преобразующее сообщение источника А в сигналы S, наиболее соответствующие характеристикам данного канала. Операции, выполняемые передатчиком, могут включать в себя формирование первичного сигнала, модуляцию, кодирование, сжатие данных и т.д. Приемник производит обработку сигналов X(t) = S(t) + x(t) на выходе канала (с учетом влияния аддитивных и мультипликативных помех x) с целью наилучшего воспроизведения (восстановления) переданного сообщения А на приемном конце. Канал (в узком смысле) – это среда, используемая для передачи сигналов от передатчика к приемнику.
Другим примером модели сложной системы служит система фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), используемая для стабилизации промежуточной частоты (ПЧ) в радиоприемных устройствах (рисунок 1.3).
 |
Рисунок 1.3 – Модель системы ФАПЧ
Система предназначена для стабилизации ПЧ f пч = f с - f г путем соответствующего изменения частоты перестраиваемого генератора (гетеродина) f г при изменении частоты сигнала f с . Частота f г в свою очередь будет изменяться с помощью управляемого элемента пропорционально выходному напряжению фазового дискриминатора, зависящему от разности фаз выходной частоты f пч и частоты эталонного генератора f 0 .
Эти модели позволяют получить качественное описание процессов, выделить особенности функционирования и работоспособности системы в целом, сформулировать задачи исследования. Но техническому специалисту этих данных, как правило, недостаточно. Необходимо точно выяснить (желательно в цифрах и графиках) насколько хорошо работает система или устройство, выявить количественные показатели оценки эффективности, сравнить предлагаемые технические решения с существующими аналогами для принятия обоснованного решения.
Для теоретического исследования, получения не только качественных но и количественных показателей и характеристик необходимо выполнить математическое описание системы, то есть составить ее математическую модель.
Математические модели могут быть представлены различными математическими средствами: графами, матрицами, дифференциальными или разностными уравнениями, передаточными функциями, графическим соединением элементарных динамических звеньев или элементов, вероятностными характеристиками и т.д.
Таким образом, первым основным вопросом, который возникает при количественном анализе и расчете электронных устройств является составление с требуемой степенью приближения математической модели, описывающей изменения состояния системы с течением времени.
Графическое изображение системы в виде соединения различных звеньев, где каждому звену ставится в соответствие математическая операция (дифференциальное уравнение, передаточная функция, комплексный коэффициент передачи), называют структурной схемой . При этом основную роль играет не физическая структура звена, а характер связи между входными и выходными переменными. Таким образом, различные системы могут быть динамически эквивалентными и после замены функциональной схемы структурной можно применить общие методы анализа систем независимо от области применения, физической реализации и принципа действия исследуемой системы.
К математической модели предъявляют противоречивые требования: с одной стороны она должна как можно полнее отражать свойства оригинала, а с другой – быть по возможности простой, чтобы не усложнять исследование. Строго говоря, каждая техническая система (или устройство) является нелинейной и нестационарной, содержащей как сосредоточенные, так и распределенные параметры. Очевидно, что точное математическое описание таких систем представляет собой большие трудности и не связано с практической необходимостью. Успех анализа системы зависит от того, насколько правильно выбрана степень идеализации или упрощения при выборе их математической модели.
Например, любое активное сопротивление (R ) может зависеть от температуры, обладать реактивными свойствами на высоких частотах. При больших токах и рабочих температурах его характеристики становятся существенно нелинейными. В то же время при нормальной температуре, на низких частотах, в режиме малого сигнала эти свойства можно не учитывать и считать сопротивление безынерционным линейным элементом.
Таким образом, в ряде случаев, при ограниченном диапазоне изменения параметров можно значительно упростить модель, пренебречь нелинейностью характеристик и нестационарностью значений параметров исследуемого устройства, что позволит, например, производить его анализ с применением хорошо разработанного математического аппарата для линейных систем с постоянными параметрами.
В качестве примера, на рисунке 1.4 показана структурная схема (графическое изображение математической модели) системы ФАПЧ. При небольшой нестабильности частоты входного сигнала можно пренебречь нелинейностью характеристик фазового дискриминатора и управляемого элемента. В этом случае математические модели функциональных элементов, обозначенных на рисунке 1.3 можно представить в виде линейных звеньев, описываемых соответствующих передаточными функциями.
 |
Рисунок 1.4 – Структурная схема (графическое изображение математической модели) системы ФАПЧ
Проектирование электронных схем с помощью программ анализа и оптимизации на ЭВМ, как отмечалось выше, имеет ряд преимуществ перед традиционным способом проектирования «вручную» с последующей доводкой на макете. Во-первых, с помощью программ анализа на ЭВМ гораздо легче наблюдать эффект варьирования параметров схем, чем с помощью экспериментальных исследований. Во-вторых, имеется возможность анализировать критические режимы работы схемы без физического разрушения ее компонентов. В-третьих, программы анализа позволяют оценить работу схемы при наихудшем сочетании параметров, что трудно и не всегда возможно осуществить экспериментально. В-четвертых, программы дают возможность провести такие измерения на модели электронной схемы, которые трудно выполнить экспериментально в лаборатории.
Применение ЭВМ не исключает экспериментальных исследований (и даже предполагает последующую проверку на макете), но дает в руки проектировщика мощный инструмент, который позволяет значительно сократить затраты времени на проектирование и уменьшить стоимость разработки. Особенно значительный эффект дает ЭВМ при проектировании сложных устройств (например, интегральных микросхем), когда необходимо учесть большое число факторов, влияющих на работу схемы, а экспериментальная переделка слишком дорога и трудоемка.
Несмотря на очевидные преимущества, применение ЭВМ породило большие трудности: необходимы разработка математических моделей компонентов электронных схем и создание библиотеки их параметров, совершенствование математических методов для анализа многообразных режимов работы различных устройств и систем, разработка вычислительных комплексов большой производительности и др. К тому же многие задачи оказались неподвластны и ЭВМ. Для большинства устройств их структура и принципиальная схема в существенно степени зависит от области применения и исходных данных на проектирование, что создает большие трудности при синтезе принципиальных схем с помощью ЭВМ. В этом случае первоначальный вариант схемы составляется инженером «вручную» с последующим моделированием и оптимизацией на ЭВМ. Наибольшие достижения в построении программ структурного синтеза и синтеза принципиальных схем имеются в области проектирования согласующих цепей, аналоговых и цифровых фильтров, устройств на базе программируемых логических матриц (ПЛМ).
При разработке математической модели сложная система разбивается на подсистемы, причем, для ряда подсистем математические модели могут быть унифицированы и сосредоточены в соответствующих библиотеках. Таким образом, при исследовании электронных устройств с использованием программ компьютерного моделирования принципиальная или структурная схема представляет собой графическое изображение компонентов, каждому из которых ставится в соответствие выбранная математическая модель.
Для исследования принципиальных схем применяются модели типовых независимых источников, транзисторов, пассивных компонентов, интегральных схем, логических элементов.
Для исследования систем, заданных структурными схемами, важно указать взаимосвязь входных и выходных переменных. В этом случае выход любого структурного компонента представляют в виде зависимого источника. Как правило, эта взаимосвязь задается либо полиномиальной функцией, либо дробно-рациональной передаточной функцией с использованием оператора Лапласа. С учетом выбранных коэффициентов функций можно получить модели таких структурных компонентов, как сумматор, вычитатель, перемножитель, интегратор, дифференциатор, фильтр, усилитель и другие.
Современные программы компьютерного моделирования содержат десятки типов библиотек различных моделей, причем в каждой библиотеке собраны десятки и сотни моделей современных транзисторов и микросхем, выпускаемых ведущими производителями. Эти библиотеки, зачастую, составляют большую часть от объема программного обеспечения. Вместе с тем, в процессе моделирования существует возможность оперативной коррекции параметров существующих моделей или создания новых.
Для проведения количественного анализа диаграмм перечислим показатели модели:
Количество блоков на диаграмме – N ;
Уровень декомпозиции диаграммы – L ;
Сбалансированность диаграммы – В ;
Число стрелок, соединяющихся с блоком, – А .
Данный набор факторов относится к каждой диаграмме модели. Далее будут перечислены рекомендации по желательным значениям факторов диаграммы.
Необходимо стремиться к тому, чтобы количество блоков на диаграммах нижних уровней было бы ниже количества блоков на родительских диаграммах, т.е. с увеличением уровня декомпозиции убывал бы коэффициент . Таким образом, убывание этого коэффициента говорит о том, что по мере декомпозиции модели функции должны упрощаться, следовательно, количество блоков должно убывать.
Диаграммы дол лены быть сбалансированы. Это означает, что в рамках одной диаграммы не должно происходить ситуации, изображенной на рис. 14: у работы 1 входящих стрелок и стрелок управления значительно больше, чем выходящих. Следует отметить, что данная рекомендация может не выполняться в моделях, описывающих производственные процессы. Например, при описании процедуры сборки в блок может входить множество стрелок, описывающих компоненты изделия, а выходить одна стрелка – готовое изделие.
Рис. 14. Пример несбалансированной диаграммы
Введем коэффициент сбалансированности диаграммы:
.
Необходимо стремиться, чтобы К b , был минимален для диаграммы.
Помимо анализа графических элементов диаграммы необходимо рассматривать наименования блоков. Для оценки имен составляется словарь элементарных (тривиальных) функций моделируемой системы. Фактически в данный словарь должны попасть функции нижнего, уровня декомпозиции диаграмм. Например, для модели БД элементарными могут являться функции «найти запись», «добавить запись в БД», в то время как функция «регистрация пользователя» требует дальнейшего описания.
После формирования словаря и составления пакета диаграмм системы необходимо рассмотреть нижний уровень модели. Если на нем обнаружатся совпадения названий блоков диаграмм и слов из словаря, то это говорит, что достаточный уровень декомпозиции достигнут. Коэффициент, количественно отражающий данный критерий, можно записать как L*C – произведение уровня модели на число совпадений имен блоков со словами из словаря. Чем ниже уровень модели (больше L), тем ценнее совпадения.
Методология DFD
В основе методологии DFD лежит построение модели анализируемой АИС – проектируемой или реально существующей. Основным средством моделирования функциональных требований проектируемой системы являются диаграммы потоков данных (DFD). В соответствии с данной методологией модель системы определяется как иерархия диаграмм потоков данных. С их помощью требования разбиваются на функциональные компоненты (процессы) и представляются в виде сети, связанной потоками данных. Главная цель таких средств – продемонстрировать, как каждый процесс преобразует свои входные данные в выходные, а также выявить отношения между этими процессами.
Компонентами модели являются:
Диаграммы;
Словари данных;
Спецификации процессов.
DFD-диаграммы
Диаграммы потоков данных (DFD – Data Flow Diagrams) используются для описания документооборота и обработки информации. DFD представляет модельную систему как сеть связанных между собой работ, которые можно использовать для более наглядного отображения текущих операций документооборота в корпоративных системах обработки информации.
DFD описывает:
Функции обработки информации (работы, activities);
Документы (стрелки, arrows), объекты, сотрудников или отделы, которые участвуют в обработке информации;
Таблицы для хранения документов (хранилище данных, data store).
В BPwin для построения диаграмм потоков данных используется нотация Гейна-Сарсона (табл. 4).
Нотация Гейна – Сарсона
Таблица 4
На диаграммах функциональные требованияпредставляются с помощью процессов и хранилищ, связанных потоком данных.
Внешняя сущность – материальный предмет или физическое лицо, т.е. сущность вне контекста системы, являющуюся источником или приемником системных данных (например, заказчик, персонал, поставщики, клиенты, склад и др.). Ее имя должно содержать существительное. Предполагается, что объекты, представленные такими узлами, не должны участвовать ни в какой обработке.
Система и подсистема при построении модели сложной ИС она может быть представлена в самом общем виде на контекстной диаграмме в виде одной системы как единого целого, либо может быть декомпозирована на ряд подсистем. Номер подсистемы служит для ее идентификации. В поле имени вводится наименование системы в виде предложения с подлежащим и соответствующими определениями и дополнениями.
Процессы предназначены для продуцирования выходных потоков из входных в соответствии с действием, задаваемым именем процесса. Это имя должно содержать глагол в неопределенной форме с последующим дополнением (например, вычислить, проверить, создать, получить). Номер процесса служит для его идентификации, а также для ссылок на него внутри диаграммы. Этот номер может использоваться совместно с номером диаграммы для получения уникального индекса процесса во всей модели.
Потоки данных – механизмы, использующиеся для моделирования передачи информации из одной части системы в другую. Потоки на диаграммах изображаются именованными стрелками, ориентация которых указывает направление движения информации. Иногда информация может двигаться в одном направлении, обрабатываться и возвращаться назад в ее источник. Такая ситуация может моделироваться либо двумя различными потоками, либо одним - двунаправленным.
Качественные и количественные методы представляют собой инструмент определенной работы с данными, их фиксации и последующего анализа.
Качественные методы нацелены на сбор качественных данных и их последующий качественный анализ с применением соответствующих техник и приемов извлечения смысла; количественные методы являются инструментом сбора числовых данных и их последующего количественного анализа приемами математической статистики (рис. 3.1).
Рис. 3.1.
Соответственно, качественные исследования можно определить как исследования, в которых преимущественно используются качественные методы, а количественные - как исследования, построенные на преимущественном применении количественных методов.
Кажется очевидным определять тип исследования по соответствующему типу методов. Однако не все авторы подобным образом определяют качественные и количественные исследования, и в методологической литературе можно встретить их различные трактовки. Действительно, ряд авторов (см., например: Семенова, 1998; Страусс, Корбин, 2007) характеризует качественные исследования как такие, в которых применяются неколичественные методы сбора данных, а анализ данных осуществляется при помощи различных качественных интерпретативных процедур, без привлечения подсчетов и методов математической статистики. В других пособиях, посвященных качественным исследованиям (самое известное среди них: Handbook of Qualitative Research..., 2008), наряду с исключительно качественными (феноменологическим, дискурс-аналитическим, нарративным, психоаналитическим) методами анализируется так называемая Q-методология, в которой происходит сбор числовых данных и их количественный анализ. Обычно Q-методологию противопоставляют «R-мето- дологии». В R-методологии используются объективные показатели тестов, опросников, оценочных шкал, в которых отражены конструкты, созданные самим исследователем, - именно такие объективные показатели подвергаются в R-методологии процедуре математической обработки (например, с использованием процедур факторного анализа). Q-методология, в свою очередь, направлена на получение субъективных данных. Ее основу составляет процедура Q-сортировки: исследуемым предлагается сортировать некоторый набор утверждений (как правило, полученный от них же самих в результате специальной процедуры опроса или интервью), осуществляя распределение этих утверждений вдоль заранее организованного континуума, заданного некоторой шкалой. Исследуемые сортируют утверждения в соответствии с их собственной субъективной оценкой, и в дальнейшем матрица этих субъективных оценок подвергается обработке методами многомерной статистики. Как уже было сказано, процедуры Q-методологии включены в пособия по качественным исследованиям, несмотря на то что они предполагают получение количественных данных и применение статистических методов. Авторы полагают, что Q-методология представляет собой одну из возможных альтернатив основным «объективным» психологическим исследованиям, а поскольку считается, что именно направление качественных исследований воплощает дух познавательных альтернатив, базирующуюся на количественных методах Q-методологию обсуждают в контексте качественных исследований.
Как можно видеть, трактовка качественных и количественных исследований не всегда строго привязана к используемым в исследованиях типам методов. Очень часто в качестве конститутивного признака разделения качественных и количественных исследований выступают особенности организации исследования. Проблема выделения различных типов исследований с точки зрения их организации будет рассмотрена в следующем параграфе. Во избежание путаницы здесь мы предлагаем остановиться на данном в начале параграфа методическом определении качественных и количественных исследований как построенных на преимущественном применении определенного типа методов. Качественные исследования в основном имеют дело с качественными данными и качественными же способами их анализа, количественные исследования - с количественными данными и их количественным анализом.
Для проведения количественного анализа моделей будем использовать следующие показатели:
1. Количество блоков на диаграмме – N;
2. Уровень декомпозиции диаграммы – L;
3. Сбалансированность диаграммы – B;
4. Число стрелок, соединяющихся с блоком – A .
Данный набор показателей относится к каждой диаграмме в модели, далее используя коэффициенты (формула 1, 2), по которым можно определить количественные характеристики модели в целом. Для увеличения понятности модели необходимо стремиться к тому, чтобы количество блоков (N) на диаграммах нижних уровней было меньше, чем количество блоков на родительских диаграммах, то есть с увеличением уровня декомпозиции (L) коэффициент декомпозиции d убывал: d = N / L
Таким образом, убывание этого коэффициента говорит о том, что по мере декомпозиции модели функции должны упрощаться, следовательно, количество блоков должно убывать.
Диаграммы должны быть сбалансированы. Это обозначает, что количество стрелок, входящих в блок и выходящих, должно быть равно распределено, то есть количество стрелок не должно сильно варьироваться. Следует отметить, что данная рекомендация может не соблюдаться для процессов, которые подразумевают получение готового продукта из большого количества составляющих (выпуск узла машины, выпуск продовольственного изделия и другие). Коэффициент сбалансированности диаграммы рассчитывается по следующей формуле:
Желательно, чтобы коэффициент сбалансированности был минимален для диаграммы, а в модели был постоянен
Кроме оценки качества диаграмм в модели и в целом самой модели по коэффициентам сбалансированности и декомпозиции можно провести анализ и оптимизацию описанных процессов. Физический смысл коэффициента сбалансированности определяется количеством стрелок, соединенных с блоком, и соответственно его можно интерпретировать как оценочный коэффициент по количеству обрабатываемой и получаемой информации. Таким образом, на графиках зависимости коэффициента сбалансированности от уровня декомпозиции, существующие пики относительно среднего значения показывают перегруженность и недогруженность подсистем информационной системы на предприятии, так как различные уровни декомпозиции описывают деятельность различных подсистем. Соответственно, если на графиках имеются пики, то можно выдать ряд рекомендаций по оптимизации описанных процессов, автоматизируемых информационной системой.
Анализ контекстной диаграммы «А-0 Информационная система строительной организации»
Количество блоков: 1
Уровень декомпозиции диаграммы: 3
Коэффициент сбалансированности: 3
Число стрелок, соединяющихся с блоком: 11
Анализ детализация процесса «А2 Модуль «Поставщики»
Количество блоков: 4
Анализ детализация процесса «А3 Модуль «Объекты»
Количество блоков: 3
Уровень декомпозиции диаграммы: 2
Коэффициент сбалансированности: 5,75
Анализ детализация процесса «А1 Модуль «Рабочие»
Количество блоков: 3
Уровень декомпозиции диаграммы: 2
Коэффициент сбалансированности: 5,75
Анализ детализация процесса «А 4.1 Модуль «Отчеты»
Количество блоков: 3
Уровень декомпозиции диаграммы: 2
Коэффициент сбалансированности: 5,75
Анализ детализация процесса «А 5 Модуль «Подрядчики»
Количество блоков: 3
Уровень декомпозиции диаграммы: 2
Коэффициент сбалансированности: 5,75
Коэффициент сбалансированности на дочерних уровнях декомпозиции для дочерних уровней процесса Информационная система магазина свидетельствует о том, что диаграмма сбалансирована. Т.к. коэффициент сбалансированности не равен нулю, то возможно проведение дальнейшей декомпозиции некоторых уровней, после которой возможно осуществления анализа наименований активностей данной модели.
При проведении количественного анализа модели был построен график коэффициента декомпозиции, в котором мы видим, что с увеличением уровня декомпозиции коэффициент декомпозиции убывает. Таким образом, убывание этого коэффициента говорит о том, что по мере декомпозиции модели функции упрощаются, следовательно, количество блоков убывает. График коэффициента декомпозиции приведен на рисунке 10.
Рисунок 10 – График коэффициента декомпозиции
На графике зависимости коэффициента сбалансированности от уровня декомпозиции, существующие пики относительно среднего значения показывают перегруженность подсистем информационной системы на предприятие, коэффициент сбалансированности для диаграммы максимальный. График коэффициента сбалансированности приведен на рисунке 11.
Рисунок 11 - График коэффициента сбалансированности